Définition :
On dit que \(f\) est prolongeable par continuité en \(x_0\) si \(f\) admet une limite finie en \(x_0\)
On note \(\tilde f\) et on appelle le prolongement par continuité de \(f\) en \(x_0\) la fonction $${{\tilde f(x)}}={{\begin{cases}f(x),x\neq x_0\\ \ell, x=x_0\end{cases} }}$$ \(\tilde f\) est continue en \(x_0\)
Soit \(f:E\subset{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) et \(x_0\) un point adhérent à \(E\)
Si \(f(x)\underset{x\to x_0}\longrightarrow\ell\), alors on peut prolonger \(f\) en fonction continue en \(x_0\) en posant $$f(x_0)=\ell$$